Arief Fadlansyah
March 11, 2016
0
Basis Bilangan dan Latihan Soal. Sistem bilangan (number system) adalah cara untuk mewakili besaran dari suatu item fisik. Sistem bilangan yang banyak di pergunakan oleh manusia adalah sistem bilangan desimal, yaitu sistem bilangan yang menggunakan 10 macam simbol untuk mewakili suatu besaran. Sistem ini banyak digunakan karena manusia mempunyai sepuluh jari untuk dapat membantu perhitungan. Lain halnya dengan komputer, logika di komputer, diwakili oleh bnetuk elemen dua keadaan yaitu off (tidak ada arus) dan on (ada arus). Konsep inilah yang dipakai dalam sistem bilangan biner yang mempunyai dua macam nilai untuk mewakili suatu besaran nilai.
 |
Setiap bilangan desimal itu mempunyai bentuk:
an.10^n + …. + a3.10^3 + a2.10^2 + a1.10^1 + a0.10^0
Dengan “an” adalah bilangan cacah yang kurang dari 10.
Misal, 12 bisa ditulis : 12 = (1.10^1) + (2.10^0) = (1.10) + (2.1) = 10 + 2 = 12
Bagaimana dengan bilangan: 1, 10, 11, 100, 110, …?
Ini merupakan bilangan basis 2 dengan angka terbesar adalah 1. Pada bilangan basis 2 banyaknya anggota adalah 2, yaitu 0 dan 1.
Keterangan:
1dua = 1
10dua = 2
11dua = 3
100dua = 4
101dua = 5
Menulisnya: 10dua artinya 10 di dalam basis 2. Jika tidak ditulis maka dianggap basis 10. Begitu pula untuk basis yang lainnya, menulisnya 10dua, 10tiga, 10empat, 10lima, 10enam, 10tujuh, 10delapan, 10sembilan, dst.
(Untuk menulisnya mungkin bisa dengan cara yang lain, seperti 10_2, 10(2), dll. Tetapi kali ini yang digunakan adalah penulisan seperti di atas).
Untuk bilangan selain desimal (bilangan basis 2 hingga 16) kita perhatikan uraian berikut:
Bilangan Basis 2 (Biner)
Bilangan basis 2 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 2, yaitu 0 dan 1.
Contoh :
1dua = (1.2^0) = 1
10dua = (1.2^1) + (0.2^0) = 2 + 0 = 2
11dua = (1.2^1) + (1.2^0) = 2 + 1 = 3
100dua = (1.2^2) + (0.2^1) + (0.2^0) = 4 + 0 + 0 = 4
101dua = (1.2^2) + (0.2^1) + (1.2^0) = 4 + 0 + 1 = 5
Bilangan Basis 3
Bilangan basis 3 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 3, yaitu 0, 1 dan 2.
Contoh :
1tiga = (1.3^0) = 1
2tiga = (2.3^0) = 2
10tiga = (1.3^1) + (0.3^0) = 3 + 0 = 3
11tiga = (1.3^1) + (1.3^0) = 3 + 1 = 4
12tiga = (1.3^1) + (2.3^0) = 3 + 2 = 5
Bilangan Basis 4
Bilangan basis 4 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 4, yaitu 0, 1, 2 dan 3.
Contoh :
1empat = (1.4^0) = 1
3empat = (3.4^0) = 3
10empat = (1.4^1) + (0.4^0) = 4 + 0 = 4
12empat = (1.4^1) + (2.4^0) = 4 + 2 = 6
13empat = (1.4^1) + (3.4^0) = 4 + 3 = 7
Bilangan Basis 5
Bilangan basis 5 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 5, yaitu 0, 1, 2, 3 dan 4.
Contoh :
1lima = (1.5^0) = 1
4lima = (4.5^0) = 4
10lima = (1.5^1) + (0.5^0) = 5 + 0 = 5
12lima = (1.5^1) + (2.5^0) = 5 + 2 = 7
23lima = (2.5^1) + (3.5^0) = 10 + 3 = 13
Bilangan Basis 6
Bilangan basis 6 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 6, yaitu 0, 1, 2, 3 , 4 dan 5.
Contoh :
1enam = (1.6^0) = 1
5enam = (5.6^0) = 5
10enam = (1.6^1) + (0.6^0) = 6 + 0 = 6
15enam = (1.6^1) + (5.6^0) = 6 + 5 = 11
35enam = (3.6^1) + (5.6^0) = 18 + 5 = 23
Bilangan Basis 7
Bilangan basis 7 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 7, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan 6.
Contoh :
1tujuh = (1.7^0) = 1
6tujuh = (6.7^0) = 6
10tujuh = (1.7^1) + (0.7^0) = 7 + 0 = 7
15tujuh = (1.7^1) + (5.7^0) = 7 + 5 = 12
26tujuh = (2.7^1) + (6.7^0) = 14 + 6 = 20
Bilangan Basis 8
Bilangan basis 8 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 8, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7.
Contoh :
1delapan = (1.8^0) = 1
7delapan = (3.8^0) = 7
10delapan = (1.8^1) + (0.8^0) = 8 + 0 = 8
16delapan = (1.8^1) + (6.8^0) = 8 + 6 = 14
42delapan = (4.8^1) + (2.8^0) = 32 + 2 = 34
Bilangan Basis 9
Bilangan basis 9 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 9, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8.
Contoh :
1sembilan = (1.9^0) = 9
8sembilan = (8.9^0) = 8
10sembilan = (1.9^1) + (0.9^0) = 9 + 0 = 9
22sembilan = (2.9^1) + (2.9^0) = 18 + 2 = 20
51sembilan = (5.9^1) + (1.9^0) = 45 + 1 = 46
Bilangan Basis 11
Bilangan basis 11 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 11, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan A. (huruf A = 10)
Contoh :
1sebelas = (1.11^0) = 1
9sebelas = (9.11^0) = 9
Asebelas = (A.11^0) = (10.11^0) = 10 (ingat! A = 10)
10sebelas = (1.11^1) + (0.11^0) = 11 + 0 = 11
1Asebelas = (1.11^1) + (A.11^0) = (1.11^1) + (10.11^0) = 11 + 10 = 21 (ingat! A = 10)
Bilangan Basis 12
Bilangan basis 12 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 12, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A dan B. (huruf A = 10, B = 11)
Contoh :
1duabelas = (1.12^0) = 1
9duabelas = (9.12^0) = 9
Aduabelas = (A.12^0) = (10.12^0) = 10 (ingat! A = 10)
Bduabelas = (B.12^0) = (11.12^0) = 11 (ingat! B = 11)
10duabelas = (1.12^1) + (0.12^0) = 12 + 0 = 12
1Aduabelas = (1.12^1) + (A.12^0) = (1.12^1) + (10.12^0) = 12 + 10 = 22 (ingat! A = 10)
2Bduabelas = (2.12^1) + (B.12^0) = (2.12^1) + (11.12^0) = 24 + 11 = 35 (ingat! B = 11)
Bilangan Basis 13
Bilangan basis 13 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 13, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B dan C. (huruf A = 10, B = 11, C = 12)
Contoh :
1tigabelas = (1.13^0) = 1
9tigabelas = (9.13^0) = 9
Ctigabelas = (C.13^0) = (12.13^0) = 12 (ingat! C = 12)
10tigabelas = (1.13^1) + (0.13^0) = 13 + 0 = 13
1Atigabelas = (1.13^1) + (A.13^0) = (1.13^1) + (10.13^0) = 13 + 10 = 23 (ingat! A = 10)
BCtigabelas = (B.13^1) + (C.13^0) = (11.13^1) + (12.13^0) = 143 + 12 = 155 (ingat! B = 11, C = 12)
Bilangan Basis 14
Bilangan basis 14 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 14, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C dan D. (huruf A = 10, B = 11, C = 12, D = 13)
Contoh :
1empatbelas = (1.14^0) = 1
9empatbelas = (9.14^0) = 9
Dempatbelas = (D.14^0) = (13.14^0) = 13 (ingat! D = 13)
10empatbelas = (1.14^1) + (0.14^0) = 14 + 0 = 14
1Bempatbelas = (1.14^1) + (B.14^0) = (1.14^1) + (11.14^0) = 14 + 11 = 25 (ingat! B = 11)
ADempatbelas = (A.14^1) + (D.14^0) = (10.14^1) + (13.14^0) = 140 + 13 = 153 (ingat! A = 10, D = 13)
Bilangan Basis 15
Bilangan basis 15 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 15, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D dan E. (huruf A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14)
Contoh :
1limabelas = (1.15^0) = 1
9limabelas = (9.15^0) = 9
Elimabelas = (E.15^0) = (14.15^0) = 14 (ingat! E = 14)
10limabelas = (1.15^1) + (0.15^0) = 15 + 0 = 15
1Dlimabelas = (1.15^1) + (D.15^0) = (1.15^1) + (13.15^0) = 15 + 13 = 28 (ingat! D = 13)
AElimabelas = (A.15^1) + (E.15^0) = (10.15^1) + (14.15^0) = 150 + 14 = 164 (ingat! A = 10, E = 14)
Bilangan Basis 16 (Hexadesimal)
Bilangan basis 16 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 16, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E dan F. (huruf A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 16)
Contoh :
1enambelas = (1.16^0) = 1
9enambelas = (9.16^0) = 9
Fenambelas = (F.16^0) = (15.16^0) = 15 (ingat! F = 15)
10enambelas = (1.16^1) + (0.16^0) = 16 + 0 = 16
1Fenambelas = (1.16^1) + (F.16^0) = (1.16^1) + (15.16^0) = 16 + 15 = 31 (ingat! F = 15)
AFenambelas = (A.16^1) + (F.16^0) = (10.16^1) + (15.16^0) = 160 + 15 = 175 (ingat! A = 10, F = 15)
MERUBAH BILANGAN KE BASIS 10 (DESIMAL)
Cara 1 : PENGURAIAN
Contoh :
Ubah 234lima ke basis 10.
Jawab :
234lima = (2.5^2) + (3.5^1) + (4.5^0) = 50 + 15 + 4 = 69
Cara 2 : HORNER
Contoh :
Ubah 234lima ke basis 10.
Jawab :
| 2 3 4
5 | 10 65
--------------------- +
2 13 69
Jadi jawabannya 69
MENGUBAH BILANGAN BASIS 10 (DESIMAL) KE BASIS LAINNYA
Cara 1. OPERASI PEMBAGIAN
Untuk mengubah bilangan desimal menjadi bilangan basis lainnya digunakan operasi pembagian dengan basisnya sambil memperhatikan sisanya.
Contoh :
Ubah 150 ke basis 8.
Jawab :
150 : 8 = 18 sisa 6
18 : 8 = 2 sisa 2
2 : 8 = 0 sisa 2note : untuk menuliskan basis 8 nya, pembacaan dilakukan dari bawah. Jadi jawabannya 226delapan
Cara 2 : MENCARI GCD
Contoh :
Ubah 150 ke basis 8.
Jawab :
150 = 8 x 18 + 6
18 = 8 x 2 + 2
Note : untuk menuliskan basis 8 nya, dibaca dari pembagi terkecilnya yaitu 2 lalu ke sisa nya. Jadi jawabannya 226delapan
atau
150 = 8 x 18 + 6
18 = 8 x 2 + 2
2 = 8 x 0 + 2 note : untuk menuliskan basis 8 nya, perhatikan sisanya, lalu pembacaan dilakukan dari bawah. Jadi jawabannya 226delapan
Cara 3 : PENGURAIAN
Contoh :
Ubah 150 ke basis 8.
Jawab :
150 = a.8^2 + b.8 +c
150 = 18 x 8 + 6
150 = (8x2 + 2)8 + 6
150 = 2x8^2 + 2x8 + 6
jadi dibaca 226delapan
LATIHAN I
Ubah ke basis 10
1. 2011tiga
Jawab :
Cara 1 : PENGUARAIAN
2011tiga
= (2.3^3) + (0.3^2) + (1.3^1) + (1.3^0)
= 54 + 0 + 3 + 1
= 58
Cara 2 : HORNER
| 2 0 1 1
3 | 6 18 57
-------------------------- +
2 6 19 58
jadi jawabannya 58
2. 3021empat
Jawab :
3021empat
= (3.4^3) + (0.4^2) + (2.4^1) + (1.4^0)
= 192 + 0 + 8 + 1
= 201
3. 4223lima
Jawab :
4223lima
= (4.5^3) + (2.5^2) + (2.5^1) + (3.5^0)
= 500 + 50 + 10 + 3
= 563
4. 5253enam
Jawab :
5253enam
= (5.6^3) + (2.6^2) + (5.6^1) + (3.6^0)
= 1080 + 72 + 30 + 3
= 1185
5. 3136tujuh
Jawab :
3136tujuh
= (3.7^3) + (1.7^2) + (3.7^1) + (6.7^0)
= 1029 + 49 + 21 + 6
= 1105
6. 2675delapan
Jawab :
2675delapan
= (2.8^3) + (6.8^2) + (7.8^1) + (5.8^0)
= 1024 + 384 + 56 + 5
= 1469
7. 524enam
Jawab :
524enam
= (5.6^2) + (2.6^1) + (4.6^0)
= 180 + 12 + 4
= 196
8. 423lima
Jawab :
423lima
= (4.5^2) + (2.5^1) + (3.5^0)
= 100 + 10 + 3
= 113
9. 10203empat
Jawab :
10203empat= (1.4^4) + (0.4^3) + (2.4^2) + ( 0.4^1) + (3.4^0)
= 256 + 0 + 32 + 0 + 3
= 291
(Cara Horner bisa kalian coba sendiri di rumah)
LATIHAN II
1. Ubah 57 ke basis 2.
Jawab :
Cara 1. OPERASI PEMBAGIAN
57 : 2 = 28 sisa 1
28 : 2 = 14 sisa 0
14 : 2 = 7 sisa 0
7 : 2 = 3 sisa 1
3 : 2 = 1 sisa 1
1 : 2 = 0 sisa 1
Baca sisanya dari bawah, jadi jawabannya 111001dua
Cara 2. MENCARI GCD
57 = 2 x 28 + 1
28 = 2 x 14 + 0
14 = 2 x 7 + 0
7 = 2 x 3 + 1
3 = 2 x 1 + 1
1 = 2 x 0 + 1
Baca sisanya dari bawah, jadi jawabannya 111001dua
2. Ubah 257 ke basis 3.
Jawab :
257 = 3 x 85 + 2
85 = 3 x 28 + 1
28 = 3 x 9 + 1
9 = 3 x 3 + 0
3 = 3 x 1 + 0
1 = 3 x 0 + 1
Sehingga 257 = 100112tiga
3. Ubah 432 ke basis 12
Jawab :
423 : 12 = 35 sisa 3
35 : 12 = 2 sisa 11 (Ingat! B = 11)
2 : 12 = 0 sisa 2
Sehingga 423 = 2B3duabelas
4. Ubah 678 ke hexadesimal
Jawab :
678 : 16 = 42 sisa 6
42 : 16 = 2 sisa 10 (Ingat! A = 10)
2 : 16 = 0 sisa 2
Sehingga 678 = 2A6enambelas
5. Ubah 1011dua dalam basis 5
Jawab :
Ubah ke basis 10 dulu,
1011dua
= (1.2^3) + (0.2^2) + (1.2^1) + (1.2^0)
= 8 + 0 + 2 + 1 = 11
Ubah ke basis 5,
11 = 5 x 2 + 1
2 = 5 x 0 + 2
11 = 21lima, sehingga 1011dua = 21lima
6. Ubah 110011001dua dalam basis 13
Jawab :
Ubah ke basis 10 dulu,
110011001dua
= (1.2^8) + (1.2^7) + (0.2^6) + (0.2^5) + (1.2^4) + (1.2^3) + (0.2^2) + (0.2^1) + (1.2^0)
= 256 + 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1
= 409
Ubah ke basis 13,
409 = 13 x 31 + 6
31 = 13 x 2 + 5
2 = 13 x 0 + 2
sehingga 110011001dua = 256tigabelas
Untuk referensi lain dapat anda download file di bawah ini:
